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Équations linéaires



introduction

Le système d'équations linéaires est un système d'équations dans lequel les inconnues de chaque équation sont toutes du premier ordre (par exemple, un système d'équations du premier ordre à deux éléments). L'étude des équations linéaires en Chine a eu lieu au moins 1500 ans plus tôt qu'en Europe, et elle a été enregistrée dans le chapitre sur les équations des « Neuf chapitres d'arithmétique » au début de notre ère.

Les équations linéaires sont largement utilisées. Le problème de programmation linéaire bien connu est la discussion d'équations linéaires avec certaines contraintes sur la solution.

Définition

xj est la quantité inconnue, aij est le coefficient et bi est le terme constant.

C'est ce qu'on appelle la matrice des coefficients et la matrice augmentée. Si x1=c1, x2=c2,..., xn=cn sont substitués dans les équations données et toutes les équations sont établies, alors (c1, c2,..., cn) est appelé une solution. Si c1, c2,..., cn ne sont pas tous nuls, alors (c1, c2,..., cn) est une solution non nulle. Si les termes constants sont tous à 0, cela s'appelle un système d'équations linéaires homogène, qui a toujours des solutions nulles (0, 0, ..., 0). Deux systèmes d'équations, si leur nombre d'inconnues est le même et leurs ensembles de solutions sont égaux, sont appelés le même système d'équations de solution. Les principaux problèmes abordés dans les équations linéaires sont :

Quand un système d'équations a-t-il une solution ?

Il y a des solutions au nombre d'équations.

Résoudre le système d'équations résolubles et déterminer la structure de la solution. Ces problèmes sont tous résolus de manière satisfaisante : le système d'équations donné a une solution, alors rang (A) = rang (matrice augmentée) ; si rang (A) = rang = r, alors r = n, il existe une solution unique ; r Résoudre par méthode d'élimination.

Lorsqu'un système d'équations linéaires non homogènes a une solution, la seule condition nécessaire et suffisante pour la solution est que le système d'équations linéaires homogènes correspondant ait des solutions nulles ; la condition nécessaire et suffisante pour le nombre infini de solutions est le système d'équation linéaire homogène correspondant Il existe des solutions non nulles. Mais au contraire, lorsque le groupe dérivé d'équations linéaires non homogènes n'a que des solutions nulles et des solutions non nulles, ce n'est pas nécessairement que les équations originales ont des solutions uniques ou infinies. En fait, les équations peuvent ne pas avoir, c'est-à-dire qu'elles peuvent ne pas avoir de Solution.

La règle de Clem (voir Déterminant) donne une formule pour la solution d'un type particulier d'équations linéaires. L'ensemble solution de tout système d'équations homogène à n inconnues constitue un sous-espace de l'espace à n dimensions.

Méthode de résolution

La règle de Cramer. Il y a deux prémisses pour utiliser la règle de Cramer pour résoudre un système d'équations. L'une est que le nombre d'équations doit être égal au nombre d'inconnues, et l'autre est Le déterminant de la matrice de coefficients ne doit pas être égal à zéro. Utiliser la règle de Cramer pour résoudre un système d'équations équivaut en fait à résoudre un système d'équations linéaires par la méthode de la matrice inverse. Il établit la relation entre la solution du système d'équations linéaires et ses coefficients et constantes. Formule, sa charge de travail est souvent très importante, la loi de Cramer est donc souvent utilisée pour des preuves théoriques et rarement utilisée pour des solutions spécifiques.

Méthode d'élimination de la matrice. La matrice augmentée du groupe d'équations linéaires est transformée en une matrice en forme d'échelle simplifiée en lignes par la transformation élémentaire de lignes, puis le groupe d'équations linéaires avec la matrice en forme d'échelle simplifiée en lignes comme matrice augmentée et Le système original de équations a la même solution. Lorsque le système d'équations a une solution, la quantité inconnue correspondant au vecteur colonne unitaire est considérée comme la quantité inconnue non libre, et les quantités inconnues restantes sont considérées comme la quantité inconnue libre, et la solution du groupe d'équations linéaires peut être trouvé.

En ce qui concerne la quantité inconnue est une équation linéaire, sa forme générale est

1, 2,... , n represents the unknown quantity, ij(1≤ ≤m,1≤ ≤ ) is called the coefficient of equation ⑴, and i (1≤ ≤m) is called the constant term. où 1, 2,... , n représente la quantité inconnue, ij(1≤ m,1≤ ≤ ) est appelé le coefficient de l'équation ⑴, et i (1≤ ≤m ) est appelé terme constant. Les coefficients et les termes constants sont des nombres complexes arbitraires ou des éléments d'un certain domaine.

1, 2,..., n are all equal to zero, then the equation system ⑴ It is a homogeneous linear equation system. Lorsque les termes constants 1, 2,..., n sont tous égaux à zéro, alors le système d'équations ⑴ C'est un système d'équations linéaire homogène.

column matrix La matrice m-ligne colonnes

formé par les coefficients du groupe d'équations est appelé la matrice de coefficients du groupe d'équations ⑴. to obtain an m-row +1 column matrix Ajoutez une colonne composée d'éléments constants dans pour obtenir une matrice de colonnes +1 à m-lignes

appelée matrice augmentée du système d'équations .

1 with a set of complex numbers or elements of the field с1, с2,..., сn, 2,..., n, the two ends of each equation are equal, then с1, с2,..., сn are called a solution of equations ⑴. Si dans le système d'équations ⑴, remplacez la quantité inconnue 1 par un ensemble de nombres complexes ou d'éléments du champ с1, с2,..., сn, 2,..., n, les deux extrémités de chacun équation sont égales, alors с1, с2,..., сn sont appelées une solution des équations ⑴.

En ce qui concerne les équations linéaires, il y a les principaux résultats suivants.

and the augmented matrix have the same rank. La condition nécessaire et suffisante pour que les équations linéaires aient une solution est que la matrice de coefficients et la matrice augmentée aient le même rang.

and both have the same rank >0, has one The order sub-formula is not equal to zero. Dans le cas de et que les deux ont le même rang >0, a un La sous-formule d'ordre n'est pas égale à zéro. Laisser

equations Solution. alors le système d'équations ⑴ est le même que le système d'équations ne contenant que les premières équations Solution. equations can be rewritten as Les premières équations peuvent être réécrites comme

1= 1/ , 2= 2/ ,..., r= r/ , ⑶ La formule générale de résolution des équations est 1= 1/ , 2= 2/ ,..., r= r/ , ⑶

j( =1, 2,..., ) is the one obtained by replacing the column of with the column on the right end of the equation system ⑵ r hierarchical determinant, that is, où j( =1, 2,..., ) est celui obtenu en remplaçant la colonne de par la colonne à l'extrémité droite du système d'équations ⑵ r déterminant hiérarchique, c'est-à-dire

1, 2,..., r can be The remaining unknown quantities r+1, r+2,..., n are expressed linearly, r+1, r+2,..., n are called free unknowns. donc 1, 2,..., r peut être Les quantités inconnues restantes r+1, r+2,..., n sont exprimées linéairement, r+1, r+2,. .., n sont appelés inconnues libres.

< , give a set of values ​​of free unknown quantity arbitrarily, and can be obtained by ⑶ The value of i>1, 2,..., r is one solution of equation system ⑴, and there is more than one solution of equation system ⑴. Lorsque < , donnez arbitrairement un ensemble de valeurs de quantité inconnue libre, et peut être obtenu par ⑶ La valeur de i>1, 2,..., r est une solution du système d'équations , et il y a plus d'une solution du système d'équations . = , the equation system ⑵ does not contain free unknowns, and the only solution of equation system ⑴ is given by ⑶. Lorsque = , le système d'équations ⑵ ne contient pas d'inconnues libres, et la seule solution du système d'équations ⑴ est donnée par ⑶. = , formula (3) is called Cramer's rule. Lorsque m= = , la formule (3) est appelée règle de Cramer.

Les équations linéaires sont le type d'équations algébriques le plus simple et le plus important. Un grand nombre de problèmes scientifiques et technologiques se résument souvent à la résolution d'équations linéaires. Par conséquent, la résolution numérique des équations linéaires occupe une place importante dans les mathématiques computationnelles.

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